ここで、平均と共分散の添え字  は、これらが時間  での確率計算のバーであることを示します。

一切れの瞬間。時刻  での資産の価格は、時刻  で設定された情報に含まれているため、これは必要ありません。

条件付き期待値を実行するための変数。 の条件付き平均は式) の総無リスク率であるため、

であるため、式 は、資産の価格がリスクのない期待収益であることを示しています。

割引率、および  家族办公室とリターンの共分散の修正。 つまり、資産の期待リターンは、無リスクのリターンに  を掛けたものと、

共分散の調整係数。

リスクフリーレートの合計を両側から差し引くと、リスクプレミアムは、リスクフリーレートの合計に を乗じたものになります。

と超過リターンの共分散 資産のログ リターンとログ  の間の負の共分散。この式では、

 のように、 の平均値 (リスクフリー レートの合計を掛けた値) で割ります。

ここでの共分散は対数に関連しているため、絶対共分散ではなく比例共分散です。資産価格設定モデルには、 の動作に関する検証可能な制約があります。ただし、特定のモードを考慮すると、

 は、モデルの前に観測された資産リターンのプロパティを使用して特徴付けることができます。一般的に使用される方法

この方法は、資産市場で観測されたリスク プレミアムから  のボラティリティの下限を導き出すことです。このセクションで、

このような一連の下限を検討します。 資産  のシャープ レシオは、平均に対する確率的割引係数の低いボラティリティを制限します。

境界。シャープレシオが最も高いリスクの高い資産または資産のポートフォリオを見つけて、最も厳しいダウンサイドを取得します

限界。この一般的なタイプの境界 (ただし、ここで説明されている正確なものではありません) は、最初に次のように指定されます。

 がそれを導出しました。演習  は

価格モデルの候補  が単一のリスク資産の価格設定を誤った場合、相関関係を導き出します。

ボラティリティの限界。世紀の米国株式市場では、右側の比率は  の範囲でした。つまり、

これは、 の標準偏差が非常に大きいことを意味します。 の平均は  に近くなければならず は常に

正の数なので、ボラティリティが  の場合、ゼロの下限は平均よりも 基準低いだけであることを意味します。

違い。限界効用が  年でこれほど変化するのは驚くべきことです。つまり、

追加消費の価値がほとんどない国は、かなりの確率重みを持っています。これはを理解しています

 の有名なエクイティ プレミアム パズルは、最も一般的なアプローチです。

さらなる議論のための第章 無リスク資産がない場合でも自衛隊を決定する際に

有効な の最初の  つの注文は、平均の場合の資産の観察された収益から導き出されます。

警戒線の瞬間。彼らは、 の平均標準偏差空間でフロンティアを導出しました。

利回りの平均標準偏差フロンティアは密接に関連しています。

セクション の  フェーズのフレームワークに戻ります。ベンチマークのリターン ベクトル  には、個のリスク キャピタルがあります。

リスクのない資産はありません。  分析の出発点は、 の平均を取ることです。